前言

该篇目为我在数学学习上的心得，同时，也包含整个高中数学的知识点以及完整学习资源。该文章将会持续更新，直至所有内容更新完毕，每个章节都存在以下几个分支。
分别为:
知识点｜拓展&注意点｜习题(例题)｜参考引用

有人说自学应该看网课，可是早期人们学习都是通过书本
人们在书本上学习是需要思考的
而在信息量爆炸的今天，倘若有人愿意对着原本自己并不理解的知识点进行思考并进行练习
最后的结果并不会比听网课差，甚至优于网课。

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集合与区间

集合

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以下文本属于"集合"这一章节的内容
习题建议自己写一遍再看解析

定义

维基百科集合（英语：set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同对象（英语：object）形成的总体。集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若是集合的元素，则记作。
不包含任何元素的集合称为空集；
只包含一个元素的集合称为单元素集合。
集合可以包含有限或无限个元素。
如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。
集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。

不用想，直接看定义是晦涩难懂的，要是谁都能看懂这玩意那这文章也没有存在的必要了。
那么定义里说的是什么玩意呢？很简单，打个比方，其实集合就是一个可以放入任何东西的小箱子，箱子里面的东西叫做元素。

比如：有一个箱子，里面有钻石，黄金，珠宝，那么这个箱子就叫做集合，而钻石，黄金与珠宝被称作元素

思考一下，我们总不能拿这样的东西上考场吧？我们学的是数学，需要用数学的语言来表达。 $钻石黄金珠宝$

这里我们就能来解释一下了，这里的其实就是宝箱，而 $钻石黄金珠宝$ 就是里面的东西，在数学中，被叫做 $元素$ 。

既然集合可以用符号表示里面有什么元素，那么元素可不可以用符号表示它是在哪个集合里呢？
答案是肯定的，这里没看懂也没关系，因为等一下你就明白了。

$钻石$ 是在 $宝箱$ 里的，同样，如我们考试可不能用这种大白话来答题，所以在数学中我们发明了一个符号 $属于$ 用来表达元素和集合的所属关系刚刚的例子用数学语言来表达其实就是 $钻石宝箱$

我们再来抽象一点，把 $钻石，黄金，珠宝$ 看作三个字母
这时，一开始的 $宝箱钻石黄金珠宝$ 就变成了其中

注意

只有元素才可以使用∈！！！

我们将此继续拓展下去，x, y, z我们可以看作是三个不同的元素，我们将此列举出来了
前文说过，集合其实就是一个箱子，里面可以放任何元素进去，既然是任何元素，那就不仅仅只限与区区3个xyz，在数学上，我们可以将此无限拓展下去
比如，某个集合U={全部奇数}，这该如何用集合表示呢？难道一个一个列出来吗？

全部奇数有无限个吧？假如我们要把它们一个个的写在集合里，那基本是不可能的。所以我们该怎么办呢？我们可以利用表达式来表达一个集合里元素。

那么这里直接给出答案

你看到之后肯定会一脸懵逼，这是什么东西，咋突然就冒出了个x，这个k又是啥玩意？Z又是什么集合？

别急，我们一步一步来，慢慢分析。

U其实就是集合嘛，这没啥好说的，接着，我们看小括号里面，这是什么呢？
我们可以把这个中的理解为下定义，是整个集合内的元素，而则是这些元素究竟是什么值。
其中则是说明k是整数。

实际上，本质上就是奇数吧？

因为，而又是整数集，整数要么是奇数要么是偶数吧？
也就是说要么是奇数要么是偶数，那么应当就是偶数了吧？为什么呢？

的两种情况我们都看看，假设是偶数，偶数的两倍依旧是偶数。

假设是奇数，奇数的两倍是偶数。

也就是说其实就是偶数，那就是奇数了吧？

偶数加一都是奇数，因为偶数的定义是：可以被2整除(无余数)的整数，如果加了一个一，那么永远余1，将永远无法被2整除，故满足奇数的定义：不可以被2整除的整数。

也就是其实就是在说U是全体奇数，也就是说U是一个数集

集合的元素是任意的，可以是可以列举出来元素，也可以是通过描述法描述出元素
因此，对这两张集合下定义：
集合内的元素有限：则该集合为有限集
集合内的元素无限：则该集合为无限集
有限集一般使用列举法表示，而无限集则是使用描述法。

说到这里你是不是可能懵了？

另外一种说法

U是关于x的集合，其中x为2k+1，k属于整数

小结

一个集合可以使用描述法和列举法来表示
元素∈集合，集合里存在元素。
以及各种常用符号的记忆，如
(实数)
(整数)
或(自然数-非负整数)
(有理数)

okay, 集合和元素之间的关系不知道你有没有听懂呢